3 maneres de simplificar les expressions algebraiques

Taula de continguts:

3 maneres de simplificar les expressions algebraiques
3 maneres de simplificar les expressions algebraiques

Vídeo: 3 maneres de simplificar les expressions algebraiques

Vídeo: 3 maneres de simplificar les expressions algebraiques
Vídeo: Angles en HOMOLOGIA - Triangle equilàter i quadrat - Transformacions anamòrfiques - Geometria plana 2024, Març
Anonim

Aprendre a simplificar les expressions algebraiques és un requisit essencial per dominar l’àlgebra bàsica, a més de ser una eina extremadament valuosa per a tots els matemàtics. La simplificació permet a un matemàtic fer expressions complexes, llargues o inadequades en formes més senzilles o més còmodes, tot i que continua sent equivalent. L’habilitat de simplificació bàsica és bastant fàcil d’aprendre, fins i tot per a aquells que tenen aversió a les matemàtiques. Seguint uns quants passos senzills, és possible simplificar molts dels tipus d’expressions algebraiques més habituals sense tenir cap tipus de coneixement matemàtic. Llegiu el pas 1 per començar.

passos

Comprensió de conceptes importants

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 1
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 1

Pas 1. Definiu "termes relacionats" per variables i potències

En àlgebra, els "nombres afins" tenen la mateixa configuració de variables, elevant-se als mateixos poders. En altres paraules, perquè dos termes siguin "afins", han de tenir les mateixes variables, o cap, i cadascun d'ells ha d'estar elevat al mateix poder, o cap. L’ordre de les variables dins del terme no té importància.

Per exemple, 3x2 i 4x2 són termes relacionats perquè cadascun d'ells conté la variable x elevada a la segona potència. Tanmateix, x i x2 no són termes relacionats, ja que cadascun té x elevat a una potència diferent. De la mateixa manera, -3yx i 5xz no són termes relacionats perquè cadascun té un conjunt diferent de variables.

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 2
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 2

Pas 2. Factor d'escriptura de nombres com a producte de dos factors

La factorització és el concepte de representar un nombre determinat com a producte de dos factors multiplicats junts. Els números poden tenir més d’un conjunt de factors; per exemple, el nombre 12 pot estar format per 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, de manera que podeu declarar que 1, 2, 3, 4, 6 i 12 són tots els factors de 12. Una altra manera de pensar és que els factors d’un nombre són aquells nombres pels quals és igualment divisible.

  • Per exemple, si volem tenir en compte el factor 20, el podem escriure com 4×5.
  • Tingueu en compte que també es poden tenir en compte els termes variables. -20x, per exemple, es pot escriure com 4 (-5x).
  • Els nombres primers no es poden tenir en compte perquè només són divisibles per si mateixos i per 1.
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 3
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 3

Pas 3. Utilitzeu les sigles PEMDAS per recordar l'ordre de les operacions

De tant en tant simplificar una expressió no significa res més que realitzar operacions sobre aquesta expressió fins que això ja no és possible. En aquests casos, és important recordar l’ordre de les operacions per no cometre errors aritmètics. Les sigles PEMDAS poden ser de gran ajuda quan cal recordar l’ordre de les operacions: les lletres corresponen als tipus d’operacions que s’han de realitzar, per tal de:

  • PERarnesos.
  • Iexponents.
  • Mmultiplicació.
  • Division.
  • ELedició.
  • sresta.

Mètode 1 de 3: combinació de termes relacionats

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 4
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 4

Pas 1. Escriviu la vostra equació

Les equacions algebraiques més simples, que impliquen només uns quants termes variables amb coeficients enters i sense fraccions, radicals, etc., sovint es poden resoldre en pocs passos. Com passa amb la majoria de problemes matemàtics, el primer pas per simplificar l’equació és escriure-la.

Com a problema d’exemple, per als passos següents, considerarem l’expressió 1 + 2x-3 + 4x.

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 5
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 5

Pas 2. Identifiqueu termes relacionats

A continuació, cerqueu termes relacionats a l'equació. Recordeu que els termes semblants tenen les mateixes variables i els mateixos exponents.

Per exemple, identifiquem termes relacionats a l’equació 1 + 2x-3 + 4x. Tant 2x com 4x tenen la mateixa variable elevada al mateix exponent (en aquest cas, les x no estan elevades a cap potència). A més, 1 i -3 són termes relacionats, ja que cap dels dos té variables. Així, a la nostra equació, 2x i 4x i 1 i -3 són termes relacionats.

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 6
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 6

Pas 3. Combineu termes relacionats

Ara que heu identificat termes relacionats, podeu combinar-los per simplificar l'equació. Sumeu els termes junts (o resteu-los per termes negatius) per reduir cada conjunt de termes amb variables i exponents iguals a un terme singular.

  • Afegim termes relacionats al nostre exemple:

    • 2x + 4x = 6x.
    • 1+(-3) = - 2.
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 7
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 7

Pas 4. Creeu una expressió simplificada a partir dels vostres termes simplificats

Després de combinar els termes relacionats, creeu una expressió a partir del vostre conjunt de termes nous i simplificats. Haureu d'obtenir una expressió més senzilla, amb un terme per a cada conjunt de variables i exponents diferents a l'expressió original. Aquesta nova expressió és la mateixa que la primera.

En el nostre exemple, els termes simplificats són 6x i -2, de manera que la nova expressió serà 6x-2. Aquesta expressió simplificada és la mateixa que l'original (1 + 2x-3 + 4x), però més petita i més fàcil de resoldre. També és més senzill de tenir en compte, que, com veurem a continuació, és una altra habilitat important en simplificació.

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 8
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 8

Pas 5. Respecteu l'ordre de les operacions en combinar termes relacionats

En expressions extremadament senzilles com la de l’exemple anterior, identificar termes és senzill. No obstant això, en expressions més complexes, com ara les que impliquen termes entre parèntesis, fraccions i radicals, és possible que els termes relacionats que es puguin combinar no siguin fàcilment aparents. En aquests casos, seguiu l'ordre de les operacions, realitzant les operacions segons els termes de l'expressió segons sigui necessari, fins que només quedi la suma i la resta.

  • Per exemple, considerem l’equació 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x. Seria incorrecte identificar immediatament 3x i 2x com a termes relacionats i combinar-los malgrat els parèntesis, ja que primer hem de realitzar altres operacions. Inicialment, realitzarem operacions aritmètiques a l’expressió segons l’ordre de les operacions, per tal d’aconseguir termes que puguem utilitzar. Mirar abaix:

    • 5 (3x-1) + x (2x / 2) + 8-3x.
    • 15x-5 + x (x) + 8-3x.
    • 15x-5 + x2.

      Ara, com que només queden operacions de suma i resta, podem combinar els termes relacionats

    • x2+ 12x + 3.

Mètode 2 de 3: Factoring

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 9
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 9

Pas 1. Identifiqueu el màxim divisor comú de l’expressió

El factoratge és una manera de simplificar les expressions eliminant els factors comuns dels termes d’expressió. Per començar, trobeu el màxim divisor comú que comparteixen tots els termes de l’expressió, és a dir, el nombre més gran en què tots els termes de l’expressió són igualment divisibles.

  • Utilitzem l’equació 9x2+ 27x-3. Tingueu en compte que tots els termes de l’equació són divisibles per 3. Atès que els termes no són igualment divisibles per un altre nombre més gran, podem determinar que

    Pas 3. és el màxim divisor comú de l’expressió.

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 10
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 10

Pas 2. Divideix els termes d’expressió pel màxim comú divisor

A continuació, divideix cada terme de l’equació pel màxim comú divisor trobat. Els termes resultants tindran coeficients més baixos que en l’expressió original.

  • Factoritzem la nostra equació pel màxim divisor comú, 3. Per fer-ho, dividirem cada terme per 3.

    • 9x2/ 3 = 3x2
    • 27x / 3 = 9x
    • -3/3 = -1

      Per tant, la nostra nova expressió és 3x2+ 9x-1.

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 11
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 11

Pas 3. Representeu la vostra expressió com a producte del màxim comú divisor i la resta de termes

La nova expressió no és la mateixa que l’anterior, és a dir, no es pot dir que estigui simplificada. Per fer-lo igual a l'anterior, cal tenir en compte el fet que estava dividit pel màxim comú divisor. Incloeu la vostra expressió entre parèntesis i definiu el màxim comú divisor de l'equació original com a coeficient de l'expressió entre parèntesis.

En el cas de l’expressió d’exemple, 3x2+ 9x-1, tancarem l'expressió entre parèntesis i la multiplicarem pel màxim comú divisor de l'equació original per obtenir 3 (3x2+ 9x-1). Aquesta equació és la mateixa que l'original, 9x2+ 27x-3.

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 12
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 12

Pas 4. Utilitzeu la factorització per simplificar les fraccions

Ara us podeu preguntar per què és útil la factorització si, després d’eliminar el màxim divisor comú, la nova expressió s’ha de multiplicar per aquesta. De fet, la factorització permet a un matemàtic realitzar diversos trucs en simplificar una expressió. Un dels més senzills consisteix a aprofitar el fet que multiplicar el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix nombre donarà una fracció equivalent. Mirar abaix:

  • Diguem el nostre exemple d'expressió original, 9x2+ 27x-3, sigui el numerador d'una fracció més gran amb 3 en el seu denominador. Aquesta fracció seria així: (9x2+ 27x-3) / 3. Podem utilitzar la factorització per simplificar aquesta fracció:

    Substituïm la forma factoritzada de la nostra expressió original per l’expressió del numerador: [3 (3x2+ 9x-1)] / 3.

  • Tingueu en compte que ara el numerador i el denominador comparteixen el coeficient 3. En dividir tots dos per 3, obtenim: (3x3+ 9x-1) / 1.
  • Com que cada fracció que té "1" al seu denominador és igual als termes del numerador, podem dir que la fracció original es pot simplificar a 3x2+ 9x-1.

Mètode 3 de 3: Aplicació d’habilitats de simplificació addicionals

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 13
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 13

Pas 1. Simplifiqueu les fraccions dividint els factors comuns

Com s’ha indicat anteriorment, si el numerador i el denominador d’una expressió comparteixen factors, aquests factors es poden eliminar completament de la fracció. De vegades, això requerirà tenir en compte el numerador, el denominador o tots dos (com es va descriure anteriorment), mentre que en altres ocasions els factors compartits seran fàcilment evidents. Tingueu en compte que també és possible dividir els termes del numerador per l’expressió del denominador, individualment, per obtenir una expressió simplificada.

  • Posem un exemple que no necessàriament requereix factorització immediata. En el cas de la fracció (5x2+ 10x + 20) / 10, podem dividir cada terme del numerador pel número 10 del denominador per simplificar-lo, tot i que el coeficient “5” en 5x2 no és superior a 10 i, per tant, no pot tenir 10 com a divisor.

    En fer-ho, arribem al resultat [(5x2) / 10] + x + 2. Si ho preferim, podem reescriure el primer terme per (1/2) x2 per obtenir el resultat (1/2) x2+ x + 2.

Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 14
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 14

Pas 2. Utilitzeu factors quadrats per simplificar els radicals

Les expressions sota el símbol d’arrel quadrada s’anomenen expressions radicals. Es poden simplificar identificant els factors quadrats (factors que són quadrats d’un nombre determinat) i realitzant l’operació d’arrel quadrada per separat per eliminar-los de sota el signe d’arrel quadrada.

  • Prenem l'exemple següent: √ (9). Si pensem en el número 90 com a producte de dos dels seus factors, 9 i 10, podem agafar l’arrel quadrada de 9 per obtenir l’enter 3 i eliminar-lo del radical. En altres paraules:

    • √(90).
    • √(9×10).
    • [√(9)×√(10)].
    • 3×√(10).
    • 3√10.
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 15
Simplifiqueu les expressions algebraiques Pas 15

Pas 3. Afegiu exponents multiplicant dos termes exponencials; resteu-los dividint aquests termes

Algunes expressions algebraiques requereixen la multiplicació o divisió de termes exponencials. En lloc de calcular cada terme exponencial i multiplicar o dividir a mà, només cal afegir exponents en multiplicar-los i restar-los en dividir, per estalviar temps. Aquest concepte també es pot utilitzar per simplificar expressions variables.

  • Per exemple, considerem l'expressió 6x3× 8x4+ (x17/ x15). En cada ocasió en què cal multiplicar o dividir per exponents, restarem o sumarem, respectivament, per trobar ràpidament un terme simplificat. Mirar abaix:

    • 6x3× 8x4+ (x17/ x15)
    • (6 × 8) x3+4+ (x17-15)
    • 48x7+ x2
  • El motiu pel qual funciona és el següent:

    Multiplicar termes exponencials és, en essència, com multiplicar cadenes llargues de termes no exponencials. Per exemple, ja que x3 = x × x × x i x5 = x × x × x × x × x, x3× x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x8

  • De la mateixa manera, dividir termes exponencials és com dividir cadenes llargues de termes no exponencials. x5/ x3 = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Com que cada terme del numerador es pot cancel·lar mitjançant un terme combinador del denominador, ens queden dues x al numerador i cap al denominador, obtenint la resposta x2.

Consells

  • Recordeu sempre que heu de pensar que aquests números tenen signes més o menys. A moltes persones els costa molt pensar “Quin signe he de posar aquí?”
  • Demaneu ajuda quan sigui necessari.
  • Simplificar expressions algebraiques no és fàcil, però una vegada que en tingueu la sensació, feu servir aquesta habilitat al llarg de la vostra vida.

Avisos

  • Cerqueu sempre termes relacionats i no us deixeu enganyar pels exponents.
  • No afegiu accidentalment cap número, exponent o operació que no pertanyi a l’expressió.

Recomanat: